TERCERA SEMANA

Semana 3

Lunes 21 de Julio

En esta clase revisamos más acerca de las Derivadas de Orden superior , derivadas paraciales de segundo orden, derivadas cruzadas, etc.



Continuamos con varios ejercicios para la comprobación de la igualdad de las derivadas cruzadas( cuando la función y las derivadas parciales de primer orden son continuas), y las aplicaciones en las que este tema nos es útil ( ecuaciones del calor, unidimensional, multidimensional, etc)

Martes 22 de Julio

Empezamos con las Diferenciales totales y parciales, ahondamos el tema con :

• Incrementos parciales
• Incremento total
• Calculo del error
• Teorema de aproximación lineal
• Regla de la cadena

Miércoles 23 de Julio

Estudiamos un  tema asociado con el anterior, Derivación de funciones implícitas y los sistemas de funciones implícitas

• Por diferenciación
• Por derivación implícita
• por determinantes jacobianos

En este tema debemos tener en cuenta que para derivar debemos observar primero la relación de dependencia de las variables de la función tanto dependientes como independientes para poder eliminarlas o simplificarlas.


Jueves 24 de Julio

Vimos un video como introducción al tema de las derivadas direccionales, unos ejercicios de demostraciones para empaparnos del tema y sacar nuestras propias conclusiones, además de la aplicación del gradiente de una función en este tema y los vectores directores de las orientaciones en las que desean ser aplicadas dichas funciones respecto a un punto en el espacio.

Finalizamos  nuestra clase con ejemplos.


Viernes 25 de Julio

En esta clase vimos las Maximos y Mínimos de funciones de varias variables. Estos límites según la región en la que estén, pueden ser:

• Relativos o locales: no asociados a cierta porción del espacio, región.
  
  Máximos: Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
  1. f'(a) = 0
  2. f''(a) < 0
  
  Mínimos: Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
  1. f'(a) = 0
  2. f''(a) > 0

• Absolutos: valores extremos de una función diferenciable en una región acotada y cerrada: puntos estacionarios, de frontera y vértices.

• Condicionados: asociados a parámetros que condicionan su existencia, se usan Multiplicadores de lagrange  para su resolución.

Vimos videos explicativos para cada tema y realizamos ejercicios para una mayor comprensión.

Lunes 28 de Julio - Cuarta Semana

En este último día de nuestro curso aprendimos acerca de Integrales Múltiples , vimos su relación con las sumas de Rieman cuando las variaciones tienden a cero y el número de las mismas al infinito.

En R³: z = f(x,y)

= ∫∫ f(x,y)dA
= ∫∫ f(x,y)dxdy

En R⁴: z = f(x,y,z)
= ∫∫∫ f(x,y,z)dV
= ∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz

• Integrales sobre regiones rectangulares
• Integrales sobre regiones más generales

• Transformaciones de integrales múltiples:
Coordenadas esféricas: | J | = ∂(x,y,z)/∂(ρ,Φ,Ɵ) = ρ²senΦ
Coordenadas cilíndricas: | J | = ∂(x,y,z)/∂(r,Ɵ,z) = r
Coordenadas polares: | J | = ∂(x,y,z)/∂(r,Ɵ) = r 

• Aplicaciones de integrales múltiples:

Cálculo de áreas de láminas

Cálculo de volúmenes

Cálculo de masa: 

-Distribución de masa puntual o discreta

-Distribución de masa continua: lineal, superficial, volumétrica